QUANT LAB · 量化方法实验室
把随机性,变成可计算的规律
八个交互实验,从大数定律、中心极限定理、蒙特卡洛与随机游走,到生日悖论、高尔顿板、泊松到达与置信区间。全部基于纯概率模型,不依赖任何真实数据。
实验 01 · 频率的稳定性
累计均值随投掷次数的变化(对数横轴)
每次掷一颗均匀骰子并记录 1–6 点。随着样本增加,累计均值会逼近理论期望 3.5:单次结果随机,长期规律稳定。
样本数0
当前均值—
偏离 3.5—
最近一次点数—
实验 02 · 误差的形状
样本均值的抽样分布
从均值为 1 的指数分布(严重右偏)中抽取 n 个样本并求均值,重复 M 批。无论原始分布多偏,均值分布都会随 n 增大趋近正态。
样本均值分布
正态近似
实测均值—
实测标准差—
理论标准差 1/√n—
偏度—
实验 03 · 用随机性求解
随机投点估计 π
向单位正方形内均匀投点,落在四分之一圆内的比例约为 π/4。样本越多,估计越稳定;误差曲线量化了相对误差的收敛过程。
圆内点
圆外点
π 估计—
相对误差—
随机点0
圆内比例—
实验 04 · 噪声如何累积
多条随机游走路径与理论包络
每条路径每一步独立地 ±1。单条路径不可预测,但全体路径的离散程度按 √t 增长,方差随步数线性累积;色带是 ±1σ / ±2σ 理论包络。
单条路径
±1σ / ±2σ 包络
步数 T—
理论 σ = √T—
实测末端 σ—
落在 ±2σ 内—
实验 05 · 巧合有多常见
一间房里出现同生日的概率
每组随机抽取 n 个生日(365 天等可能),只要出现一对相同生日就算一次碰撞。重复抽样 M 组,对比实测概率与理论曲线;人数只有 23 人时,概率就已超过一半。
实测概率
理论概率
房间人数 n23
实测概率—
理论概率—
抽样组数1,000
实验 06 · 二项分布的成形
小球如何堆出钟形
每颗球经过 10 层钉子,每层独立地以 1/2 概率向左或向右,落点等于向右的次数。投球越多,底部直方图越接近二项分布 B(10, 0.5) 的钟形轮廓。
实测分布
理论二项分布
累计落球0
峰值落点—
实测标准差—
理论标准差 √(R/4)—
实验 07 · 事件何时到来
单位时间的到达次数
事件按平均每秒 λ 次的速率独立到达,相邻两次的间隔服从指数分布。把时间划成等长区间并统计每段到达数,频数分布会收敛到泊松分布;方差与均值之比趋近 1。
实测频数
泊松理论
区间数0
平均每段到达—
方差 / 均值—
最近一段—
实验 08 · 估计的不确定性
置信区间是否覆盖真实均值
从均值为 1 的指数分布中重复抽样,每次用样本均值与标准误构造近似区间。蓝色区间覆盖真实均值,灰色未覆盖;重复次数足够多时,覆盖率应接近设定的置信水平。
覆盖
未覆盖
真实均值
实测覆盖率—
覆盖数—
名义置信度95%
平均半宽—
八个实验相互独立,可随时切换;所有样本由浏览器本地生成,刷新后重新开始。
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